4.7 Matriks Songsang


4.7 Matriks Songsang
1.      Jika A ialah satu matriks segi empat sama, dan B ialah satu lagi matriks segi empat sama, dan A × B = B × A = I, maka matriks A adalah matriks songsang bagi matriks B dan sebaliknya.
2.      Matriks songsang bagi A ditulis sebagai A-1.
3.      Matriks songsang hanya wujud bagi matriks segi empat sama, tetapi bukan semua matriks segi empat sama mempunyai matriks songsang.
4.      Jika AB ≠ I atau BA ≠ I, maka A bukan matriks songsang bagi B dan B bukan matriks songsang bagi A.

Contoh 1:
Tentukan sama ada matriks A=( 2 9 1 5 )  ialah matriks songsang bagi matriks B=( 5 9 1 2 ).   

Penyelesaian:
AB=( 2 9 1 5 )( 5 9 1 2 ) =( 2×5+9×1 2×9+9×2 1×5+5×1 1×9+5×2 ) =( 10+( 9 ) 18+18 5+( 5 ) 9+10 ) =( 1 0 0 1 )=I

AB=( 5 9 1 2 )( 2 9 1 5 ) =( 5×2+( 9 )×1 5×9+( 9 )×5 1×2+2×1 1×9+2×5 ) =( 10+( 9 ) 1818 2+2 9+10 ) =( 1 0 0 1 )=I

AB = BA = I
Maka A ialah matriks songsang bagi matriks B dan sebaliknya.


5.      Matriks songsang bagi suatu matriks boleh dicari melalui rumus.
Jika A=( a b c d ) , maka matriks songsang bagi A, A-1, diberi melalui rumus yang berikut.
     A 1 = 1 adbc ( d b c a ), dan adbc0       

6.      ad – bc dikenali sebagai penentu bagi matriks A.
7.      Jika penentu adalah sifar, ad – bc = 0, maka A-1, tidak wujud.

Contoh 2:
Cari matriks songsang bagi A=( 6 1 9 1 )  dengan menggunakan rumus.

Penyelesaian:
A=( 6 1 9 1 ) a=6, b=1, c=9, d=1 A 1 = 1 adbc ( d b c a ) A 1 = 1 6×1( 1×9 ) ( 1 1 9 6 ) A 1 = 1 6+9 ( 1 1 9 6 ) A 1 = 1 3 ( 1 1 9 6 )=( 1 3 1 3 3 2 )


Contoh 3:
Matriks songsang bagi ( 7 2 9 2 ) ialah  r( 2 s 9 t ).  Cari nilai bagi r, s dan t.

Penyelesaian:
Let A=( 7 2 9 2 ) A 1 = 1 7×2( 9 )×2 ( 2 2 9 7 ) A 1 = 1 4 ( 2 2 9 7 ) r( 2 s 9 t )= 1 4 ( 2 2 9 7 ) Dengan perbandingan, r= 1 4 , s=2, t=7.